3º A y B de ESO
Capítulo 8: Movimientos en
el plano y el espacio. Páginas
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Autoras: Adela Salvador y María Molero
1.4. Composición de transformaciones
geométricas
Ejemplo:
Observa
cómo se ha construido este bello mosaico de la Alhambra:
Se ha analizado buscando la celda unidad, (un cuadrado formado por cuatro cuadrados) y el motivo mínimo (la mitad de uno de esos cuadrados). En el motivo mínimo, un triángulo rectángulo isósceles, se ha dibujado una sencilla poligonal. Se le han aplicado distintas isometrías: Una simetría de eje la hipotenusa. Al motivo formado por el inicial y su simétrico se le han aplicado cuatro giros de 90°. Se ha vuelto a girar el conjunto. Se ha dado color. Se ha trasladado horizontal y verticalmente.
Cuando aplicamos varias transformaciones, estamos componiendo transformaciones geométricas.
3.3. Simetría central en el plano. Centro de simetría
Actividades resueltas
Observa
con esta animación cómo se construye el simétrico, respecto a una simetría
central de centro (2, 3), de un polígono:
El simétrico del punto A (8, 1) es el punto A’ (-4, 5). Has visto que se ha trazado la recta OA. Con centro en O y radio OA se traza un arco de circunferencia que corta a la recta OA en A’. Lo mismo para obtener el simétrico de los otros vértices del polígono. Si los otros vértices son B (12, 7), C (9, 10), D (5, 8) y E (7, 6), ¿cuáles son sus simétricos respecto a la simetría central de centro (2, 3)?
4.1. Simetrías axiales. Eje de simetría
Para
hallar el simétrico del punto P
respecto del eje de simetría r,
utiliza un compás y haciendo centro en P
con radio suficientemente grande traza un arco de circunferencia que corte a r en dos puntos, A y B. Sin variar de
radio y con centro en A y en B traza otros dos arcos que se cortan en
P’, simétrico de P respecto a r. Observa
que PAP’B es un rombo pues sus cuatro
lados son iguales, por lo que sabemos que sus diagonales son perpendiculares y
se cortan en el punto medio.
En
la animación puedes ver como se dibuja el punto simétrico de otro utilizando
regla y escuadra:
./3A/183282_am_1Punto_simetrico.swf
Tenemos el eje de simetría y queremos encontrar el simétrico del punto P (4, 1). Dibujamos el punto P (4, 1) en un sistema de coordenadas y tomamos la escuadra. Apoyamos la escuadra sobre el eje de simetría y hasta que toque al punto. Trazamos una recta auxiliar, perpendicular al eje y que pase por el punto P. Medimos la distancia del punto al eje y llevamos esa longitud sobre la recta auxiliar, y ya tenemos el punto simétrico.
5.1. Mosaicos
Analiza la animación de generación de un mosaico mediante giros y traslaciones, analiza la animación:
./3A/185487_am_1_Alhambra_3.swf
Observa cómo primero dibuja una trama de cuadrados, dibuja
un motivo mínimo formado por dos segmentos, luego le aplica isometrías a ese
motivo: giros de 90°, con
los que dibuja la estrella, que por simetría completa la celda unidad a la que
por último la traslada por todo el mosaico.
También puedes ver en la siguiente animación:
Utiliza una trama de cuadrados, o dibuja una en tu cuaderno, para diseñar un mosaico parecido a este. Marca en la trama los centros de giros de 90° y de 180°. Marca los ejes de simetría. Dibuja un motivo mínimo sencillito, por ejemplo, una poligonal, y muévelo usando esas transformaciones. Completa primero la celda unidad, y luego trasládala.
CURIOSIDADES. REVISTA
Puedes ver la generación de uno
de estos mosaicos de la Alhambra mediante simetrías:
Busca “mosaicos” en Internet, y sabrás más sobre la generación de
mosaicos.
Puedes ver la generación de un friso: (./3A/195415_am_1Friso.swf
)
MATERIALES PARA EL AULA
Presentaciones:
Un
buen resumen de este capítulo lo tienes en esta presentación en Power Point:
Algunas presentaciones de
Power Point:
Ø Sobre frisos y mosaicos
Ø Frisos y mosaicos en la web: En Pensamiento Matemático:
http://innovacioneducativa.upm.es/sandbox/pensamiento/chip_geometrico/geometria_y_arte.pdf
Trabajos realizados por
estudiantes que pueden servir de modelo para que, ahora ellos, realicen otros
similares:
Ø Frisos y rejas unidos por las Matemáticas.
Presentación confeccionada
por dos alumnas de 2º de bachillerato del Instituto Salvador Victoria de
Monreal del Campo de Teruel: Pilar Lorente Lorente y Paloma Plumed Martín. Es
un trabajo interesante sobre frisos y rejas, aunque, opinamos, que algún friso
no está correctamente clasificado. Sin embargo, es un magnífico modelo para
inspirar otros trabajos de salir a la calle y fotografiar o dibujar rejas, (o
mosaicos, o otros tipos de frisos) que se vayan viendo.
Ø Power Point que recoge trabajos sobre mosaicos de diferentes alumnos de la Universidad Politécnica de Madrid. Puede también servir de inspiración para proponer al alumnado que confeccione sus propios mosaicos.
Internet
Buscando en internet hemos encontrado, bajo el título de los 17 grupos de simetría en el plano, la siguiente entrada: http://www.acorral.es/index3.htm. Son prácticas con Geogebra sobre mosaicos, frisos y celosías. Están diseñados, con diseños vistosos y originales mosaicos con los 17 grupos. Al final hay una tabla, a modo de resumen, que permite identificar y clasificar cada grupo de simetría. También hay una hoja de trabajo para el alumnado.
También en Internet, en http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia y en particular en:
http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_03.html
un trabajo sobre los grupos de autosimetría de los cristales sumamente interesante y de un nivel muy alto. Existe 32 clases de redes cristalinas: triclínico, monoclínico, tetragonal, cúbico, hexagonal… Estudia que sólo 11 tienen centro de simetría. Al analizar cuáles son compatibles con la traslación se obtienen las redes (o redes de Bravais) de las que hay 11 redes. Combinando los 32 grupos cristalográficos con las 11 redes encuentra que hay 230 formas posibles de repetir un objeto finito (motivo mínimo) en el espacio de dimensión tres.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
En la animación siguiente observa la forma de obtener un mosaico.
Ha tomado una celda unidad de 4 cuadraditos, ha seleccionado un motivo mínimo… Indica que simetrías ha utilizado, qué giros y qué traslaciones.